07. XOR — исключающее ИЛИ

🎯 Цель урока
Понять XOR — ключевой элемент для сумматоров и криптографии.

🧠 Теория (10 мин)

Таблица истинности XOR

A	B	A XOR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

🧠 Запоминалка
XOR = 1 когда входы РАЗНЫЕ Исключающее ИЛИ — или A, или B, но не оба!

XOR vs OR

A	B	OR	XOR
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	0 ← разница!

Формула XOR

$$A \oplus B = (A \land \overline{B}) \lor (\overline{A} \land B)$$

Или через NAND:

$$A \oplus B = ((A \text{ NAND } (A \text{ NAND } B)) \text{ NAND } (B \text{ NAND } (A \text{ NAND } B)))$$

Нужно 4 NAND для XOR — сложновато, поэтому есть готовый чип!

📦 Микросхема 74HC86

        ┌───────────────────┐
   1A ──┤ 1          14 ├── VCC
   1B ──┤ 2          13 ├── 4B
   1Y ──┤ 3   74HC86 12 ├── 4A
   2A ──┤ 4          11 ├── 4Y
   2B ──┤ 5          10 ├── 3B
   2Y ──┤ 6           9 ├── 3A
  GND ──┤ 7           8 ├── 3Y
        └───────────────────┘

4 вентиля XOR с 2 входами.

🔧 Практика (20 мин)

Схема: Детектор различия

    DIP-переключатель A ─── Pin 1
                             ├── Pin 3 ── LED
    DIP-переключатель B ─── Pin 2

Переключатель A	Переключатель B	LED
Вниз (0)	Вниз (0)	🔴 Не горит
Вниз (0)	Вверх (1)	🟢 Горит
Вверх (1)	Вниз (0)	🟢 Горит
Вверх (1)	Вверх (1)	🔴 Не горит

LED горит когда переключатели в РАЗНЫХ позициях!

💡 Применение XOR

1. Полусумматор

$$Sum = A \oplus B$$$$Carry = A \land B$$

XOR даёт сумму без учёта переноса — основа арифметики!

2. Контроль чётности

    Бит 1 ──┐
            ├── XOR ──┐
    Бит 2 ──┘         ├── XOR ──┐
                      │         ├── XOR ── Чётность
    Бит 3 ────────────┘         │
                                │
    Бит 4 ──────────────────────┘

Если результат = 1, то нечётное количество единиц.

3. Переключатель (Toggle)

$$New = Old \oplus 1$$

Если Old = 0: 0 XOR 1 = 1
Если Old = 1: 1 XOR 1 = 0

XOR с 1 инвертирует бит!

4. Шифрование

$$Шифр = Текст \oplus Ключ$$$$Текст = Шифр \oplus Ключ$$

XOR — основа многих криптоалгоритмов!

📝 Мини-задания

Задание 1 ↕

A=1, B=1. Что даёт XOR?

Ответ: 0 (входы одинаковые)

Задание 2 ↕

Что такое A XOR 0?

Ответ: A (XOR с 0 не меняет значение)

Задание 3 ↕

Что такое A XOR A?

Ответ: 0 (любое число XOR само с собой = 0)

🧮 Свойства XOR

Свойство	Формула
Коммутативность	$A \oplus B = B \oplus A$
Ассоциативность	$(A \oplus B) \oplus C = A \oplus (B \oplus C)$
Нейтральный элемент	$A \oplus 0 = A$
Самообратность	$A \oplus A = 0$
Инверсия	$A \oplus 1 = \overline{A}$

✅ Чеклист

Знаю таблицу истинности XOR
Понимаю отличие от OR
Собрал детектор различия
Знаю применения XOR

➡️ Дальше

08. Многовходовые вентили →