Теория управления

Теория управления для робототехники

Системы автоматического управления обеспечивают точное выполнение задач роботом в условиях неопределённости и возмущений.

Принцип обратной связи

Открытый контур (Open-Loop)

r(t) ──► [Controller] ──► [Plant] ──► y(t)

Характеристики:

Нет коррекции ошибок
Чувствителен к возмущениям
Прост в реализации

Замкнутый контур (Closed-Loop)

r(t) ──►(+)──► [Controller] ──► [Plant] ──► y(t)
         ▲                              │
         │                              │
         └────── [Sensor] ◄─────────────┘
              e(t) = r(t) - y(t)

Характеристики:

Компенсация ошибок
Устойчивость к возмущениям
Требует датчиков

PID-регулятор

Передаточная функция

$$G_{PID}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = K_p \left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s\right)$$

Временная область

$$u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau)d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}$$

Компоненты

Компонент	Влияние на переходный процесс
P (пропорциональный)	Уменьшает время нарастания, увеличивает перерегулирование
I (интегральный)	Устраняет статическую ошибку, может вызвать колебания
D (дифференциальный)	Уменьшает перерегулирование и время установления

Дискретная реализация

$$u[k] = K_p e[k] + K_i T_s \sum_{j=0}^{k} e[j] + K_d \frac{e[k] - e[k-1]}{T_s}$$

Реализация с anti-windup:

class PID {
private:
    float Kp, Ki, Kd;
    float integral = 0;
    float prev_error = 0;
    float integral_limit;
    float output_limit;
    float dt;
    
public:
    PID(float kp, float ki, float kd, float ts, 
        float i_limit = 100, float out_limit = 255)
        : Kp(kp), Ki(ki), Kd(kd), dt(ts),
          integral_limit(i_limit), output_limit(out_limit) {}
    
    float compute(float setpoint, float measurement) {
        float error = setpoint - measurement;
        
        // Proportional
        float P = Kp * error;
        
        // Integral with anti-windup
        integral += error * dt;
        integral = constrain(integral, -integral_limit, integral_limit);
        float I = Ki * integral;
        
        // Derivative (on measurement to avoid derivative kick)
        float derivative = (prev_error - error) / dt;
        float D = Kd * derivative;
        prev_error = error;
        
        // Output
        float output = P + I + D;
        return constrain(output, -output_limit, output_limit);
    }
    
    void reset() {
        integral = 0;
        prev_error = 0;
    }
};

Методы настройки

Ziegler-Nichols (реакция на ступеньку):

Разомкнуть контур
Подать ступенчатое воздействие
Определить $K$, $L$, $T$ из переходной характеристики

Тип	$K_p$	$T_i$	$T_d$
P	$T/(KL)$	—	—
PI	$0.9T/(KL)$	$L/0.3$	—
PID	$1.2T/(KL)$	$2L$	$0.5L$

Ziegler-Nichols (предельное усиление):

Ki = 0, Kd = 0
Увеличивать Kp до автоколебаний
Зафиксировать $K_u$ (критическое усиление) и $T_u$ (период)

Тип	$K_p$	$T_i$	$T_d$
P	$0.5K_u$	—	—
PI	$0.45K_u$	$T_u/1.2$	—
PID	$0.6K_u$	$T_u/2$	$T_u/8$

Пространство состояний

Модель

$$\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}$$$$\mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}$$

Где:

$\mathbf{x}$ — вектор состояния
$\mathbf{u}$ — вектор управления
$\mathbf{y}$ — вектор выхода
$A, B, C, D$ — матрицы системы

Управляемость

Система управляема, если ранг матрицы управляемости равен $n$:

$$\mathcal{C} = [B \quad AB \quad A^2B \quad ... \quad A^{n-1}B]$$$$\text{rank}(\mathcal{C}) = n$$

Наблюдаемость

Система наблюдаема, если ранг матрицы наблюдаемости равен $n$:

$$\mathcal{O} = \begin{bmatrix} C \\ CA \\ CA^2 \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix}$$

Управление с обратной связью по состоянию

$$\mathbf{u} = -K\mathbf{x}$$$$\dot{\mathbf{x}} = (A - BK)\mathbf{x}$$

Размещение полюсов: Выбор $K$ для заданного расположения собственных значений $(A-BK)$.

Устойчивость

Определение

Система устойчива, если при ограниченном входе выход остаётся ограниченным (BIBO-устойчивость).

Критерий Рауса-Гурвица

$$a_0 s^n + a_1 s^{n-1} + ... + a_n = 0$$

Система устойчива, если все элементы первого столбца таблицы Рауса положительны.

Критерий Найквиста

Система с разомкнутой передаточной функцией $G(s)H(s)$ устойчива, если годограф Найквиста не охватывает точку $(-1, 0)$.

Запасы устойчивости

Параметр	Описание	Типичное значение
Запас по усилению	$G_m = 1/	G(j\omega_\pi)
Запас по фазе	$\phi_m = 180° + \angle G(j\omega_c)$	> 45°

Влияние задержки

$$G_{delay}(s) = e^{-\tau s}$$$$\angle e^{-j\omega\tau} = -\omega\tau \text{ рад}$$

Важно: Большая задержка уменьшает запас по фазе!

Каскадное управление

r ──►(+)──► [Outer] ──►(+)──► [Inner] ──► [Plant] ──► y
      ▲                 ▲                        │
      │                 │                        │
      └─────────────────┼────────────────────────┘
                        │
                        └── [Inner Sensor]

Применение:

Позиция → Скорость → Момент
Внутренний контур быстрее внешнего (5-10×)

Feedforward (упреждающее управление)

      ┌──────────────────────┐
      │      [Model^-1]      │──────┐
      └──────────────────────┘      │
               ▲                    ▼
r ─────────────┼───►(+)──► [Controller] ──► [Plant] ──► y
               │     ▲                              │
               │     │                              │
               │     └──────────────────────────────┘
               │

Идея: Компенсировать известную динамику до того, как возникнет ошибка.

Реализация в ROS 2

ros2_control

# config/controllers.yaml
controller_manager:
  ros__parameters:
    update_rate: 100
    
    joint_state_broadcaster:
      type: joint_state_broadcaster/JointStateBroadcaster
    
    position_controller:
      type: position_controllers/JointGroupPositionController
      
position_controller:
  ros__parameters:
    joints:
      - joint1
      - joint2
    command_interfaces:
      - position
    state_interfaces:
      - position
      - velocity

PID в ros2_control

pid_controller:
  ros__parameters:
    joints:
      - joint1
    gains:
      joint1:
        p: 100.0
        i: 10.0
        d: 5.0
        i_clamp: 50.0

Типичные проблемы

Проблема	Причина	Решение
Перерегулирование	Kp, Ki велики	Уменьшить Kp, добавить Kd
Статическая ошибка	Нет Ki	Добавить Ki
Колебания	Ki велик, задержка	Уменьшить Ki, увеличить Kd
Шум на выходе	Kd велик	Фильтр на производной
Integral windup	Нет ограничения	Anti-windup